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隐含波动率
发布日期:2017-08-25

在上世纪七十年代,Fisher Black和Myron Scholes 以及 Robert Merton在期权定价领域做出了重大突破,即导出了期权定价模型Black-Scholes-Merton(BSM)模型。BSM模型一经提出,便获得了极大的关注,甚至引发了华尔街“第二次革命”。尽管有学者认为BSM模型关于市场的某些假设过强,会使模型失效,但BSM模型所蕴含的“无套利”思想,直接影响了随后几十年期权定价领域的发展。

对于欧式看涨期权,BSM模型给出的理论定价形如:

其中,, 为标准正态分布的分布函数。从BSM模型不难发现,标的资产的价格,欧式看涨期权行权价,无风险利率以及期权剩余期限都是已知的,都可以从当下的市场中直接观测到确切的取值。但BSM模型中关于标的资产波动率的参数并不能从市场中直接得到。

在实际交易中,交易员一般会使用隐含波动率(Implied Volatility)来刻画标的资产的波动状况。对于给定的期权定价模型,隐含波动率是指令模型给出的理论定价和实际报价相等的波动率。如果我们利用BSM模型对期权定价,那么隐含波动率就应当满足:

其中是期权的市场报价。BSM是关于波动率的非线性方程,而且并不存在波动率的解析表达式,所以我们需要利用数值方法(例如二分法)求解该方程。

下面,我们利用上文提到的方法来计算外汇期权的隐含波动率。我们选择在欧洲期货交易所(Eurex)挂牌交易的EUR/USD 外汇期权作为计算对象。标的资产在计算当日的报价约为1.3357。给定到期日为2014年9月17日的看涨期权的市场报价,对于不同的行权价,我们可以计算得到对应的隐含波动率。隐含波动率和行权价格的关系如图一所示。不难发现,平值期权(ATM)的隐含波动率相对较低,而在行权价取值在较大或较小的部分时,隐含波动率相对较高,这即是著名的“隐含波动率微笑”。“隐含波动率微笑”现象在外汇期权市场的出现主要是由于汇率并不严格满足BSM模型关于标的资产价格服从几何布朗运动的假设。比如汇率的波动经常会受到货币政策或者政治环境的影响,极端事件的出现,会给汇率带来剧烈变化。BSM模型对于标的资产价格变动分布的假设往往低估了这类事件发生的概率。

对于股票期权,我们也可以观测到类似于外汇期权中体现出来的“波动率微笑”现象。我们计算标的资产为JP Morgan 股票的期权的隐含波动率。计算当日,标的资产的价格为57.23,期权到期日为2014年9月20日。隐含波动率和行权价的对应关系如图二所示。我们不难发现,隐含波动率关于行权价格近似单调递减,这种现象被称为“波动率偏斜(Volatility Skew)”。关于“波动率偏斜”的现象,一种可能的解释是当企业股票价格下跌,企业杠杆上升,这就意味着股票面临相对更高的风险,发生大波动的可能性更大。也有人认为,波动率偏斜的出现是由于基金经理人对卖出高行权价看涨期权和买人低行权价看跌期权的偏好所导致。

总之,隐含波动率可以较为准确的反应市场对标的资产未来的状况的预期。我们甚至可以进一步计算出当前市场报价所隐含的风险中性概率分布(Risk-Neutral Probability Distribution)来进一步刻画市场情绪,作为期权投资活动的参考。